TOÁN 11 · HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Tổng Hợp Kiến Thức
Hình Học 11

Lý thuyết · Định lý · Công thức · Ví dụ minh họa · Dạng bài & Phương pháp giải

📋 MỤC LỤC

C1 Đường thẳng & Mặt phẳng C2 Hai đường thẳng song song C3 Đường thẳng song song mp C4 Hai mặt phẳng song song C5 Đường thẳng vuông góc mp C6 Hai mặt phẳng vuông góc C7 Các góc trong không gian C8 Khoảng cách trong không gian C9 Phép dời hình & đồng dạng ★ Bảng tổng hợp & Mẹo thi
📐

Chương 1: Đường Thẳng & Mặt PhẳngQUAN HỆ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI – GIAO TUYẾN

Vị trí tương đối: Đường thẳng – Mặt phẳng

  • Đường thẳng nằm trong mp: d ⊂ (α)
  • Đường thẳng song song với mp: d ∥ (α)
  • Đường thẳng cắt mp (giao tại 1 điểm)
  • Đường thẳng vuông góc mp: d ⊥ (α)

Vị trí tương đối: Hai mặt phẳng

  • Trùng nhau: mọi điểm chung
  • Song song: không điểm chung
  • Cắt nhau: giao là 1 đường thẳng

Vị trí tương đối: Hai đường thẳng

  • Song song: cùng phương, không chung điểm
  • Cắt nhau: chung đúng 1 điểm
  • Chéo nhau: không // và không cắt
  • Trùng nhau: vô số điểm chung

Các tiên đề cơ bản

  • Qua 3 điểm không thẳng hàng → có đúng 1 mp
  • Đường thẳng có 2 điểm thuộc mp → nằm trong mp
  • Hai mp phân biệt có điểm chung → giao là đường thẳng
Cách xác định giao tuyến hai mặt phẳng
QUY TẮC TÌM GIAO TUYẾN
Bước 1: Tìm điểm A = giao của 3 mặt phẳng (α), (β), mp phụ 1
Bước 2: Tìm điểm B = giao của 3 mặt phẳng (α), (β), mp phụ 2
Bước 3: Giao tuyến (α) ∩ (β) = đường thẳng AB
VÍ DỤ 1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng trong hình chóp S.ABCD Cơ bản ▾
Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD).
B1Nhận xét: S là điểm chung của (SAB) và (SCD) → S thuộc giao tuyến.
B2AB ∥ CD (vì ABCD là hình bình hành). Mặt phẳng qua AB và đường thẳng CD cắt (SAB) theo AB, cắt (SCD) theo CD. Vậy tìm điểm chung thứ hai: kéo dài AB và CD gặp nhau tại điểm... nhưng vì AB ∥ CD nên ta tìm cách khác.
B3Vì AB ∥ CD, mp(SAB) chứa AB, mp(SCD) chứa CD → mp(SAB) và mp(SCD) cắt nhau theo đường thẳng qua S song song AB (và CD).
✓ Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng SI, trong đó I là giao của AC và BD (tâm hình bình hành), hoặc đường qua S // AB // CD.
VÍ DỤ 2 Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng trong không gian Cơ bản ▾
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Xác định vị trí của AA' và BC.
B1AA' ∥ BB' (cạnh bên song song hình hộp), và BB' và BC cắt nhau tại B.
B2AA' không nằm trong mp(ABCD) (vì A' ∉ mp(ABCD)), BC nằm trong mp(ABCD).
B3AA' không song song BC (vì AA' // BB', mà BB' cắt BC, nên AA' cắt BC... Kiểm tra: AA' và BC không có điểm chung, không nằm trong cùng mp.
✓ AA' và BC là hai đường thẳng chéo nhau (không cùng mp, không song song, không cắt nhau).

Dạng 1 – Tìm giao tuyến, giao điểm

PPTìm giao tuyến (α)∩(β): Tìm 2 điểm chung bằng cách cho mp thứ 3 cắt cả hai mp đã cho.
PPTìm giao điểm d∩(α): Cho mp(β) chứa d cắt (α) theo giao tuyến t; giao điểm cần tìm = d ∩ t.
⚠Trong hình chóp/hình hộp: tận dụng các mặt sẵn có làm mp phụ để tìm điểm chung.
⚠Hai mp trùng nhau hoặc song song thì không có giao tuyến (hoặc vô số điểm chung).
∥

Chương 2: Hai Đường Thẳng Song SongĐIỀU KIỆN – TÍNH CHẤT – ỨNG DỤNG

Dấu hiệu nhận biết song song

  • a ∥ b nếu cùng song song với đường thẳng c
  • a ∥ b nếu a, b ⊂ (α) và cùng ∥ với c ∉ (α)
  • a ∥ b nếu a, b cùng vuông góc một mp
  • a ∥ b nếu véc-tơ chỉ phương cùng phương

Tính chất quan trọng

  • Bắc cầu: a∥b và b∥c ⇒ a∥c
  • Nếu mp cắt a∥b thì giao điểm chia hai đoạn tỉ lệ
  • Đoạn thẳng nối trung điểm = đường trung bình (trong tam giác, tứ diện)

Đường trung bình trong không gian

  • Đoạn nối trung điểm 2 cạnh tam giác: ∥ cạnh thứ 3, = nửa cạnh thứ 3
  • Đoạn nối trung điểm 2 cạnh đối tứ diện: ∥ và bằng nhau
VÍ DỤ Chứng minh hai đường thẳng song song trong hình chóp Cơ bản ▾
Cho hình chóp S.ABCD, M là trung điểm SA, N là trung điểm SB. Chứng minh MN ∥ AB.
B1Xét tam giác SAB: M là trung điểm SA, N là trung điểm SB.
B2Theo định lý đường trung bình trong tam giác: MN là đường trung bình của △SAB.
B3Do đó MN ∥ AB và MN = AB/2.
✓ MN ∥ AB (đường trung bình △SAB). MN = ½AB.

Dạng 2 – Chứng minh hai đường thẳng song song

PP1Dùng đường trung bình trong tam giác hoặc hình thang.
PP2Chứng minh hai đường cùng song song một đường thứ ba (tính chất bắc cầu).
PP3Chứng minh hai đường cùng vuông góc một mặt phẳng.
PP4Dùng hình hộp/lăng trụ: các cạnh song song nhau theo chiều tương ứng.
⇀

Chương 3: Đường Thẳng Song Song Mặt PhẳngĐIỀU KIỆN – DẤU HIỆU – TÍNH CHẤT

Điều kiện và dấu hiệu nhận biết d ∥ (α)

ĐIỀU KIỆN ĐỦ (quan trọng nhất)
d ∥ (α) nếu:
• d ∉ (α) (d không thuộc mp)
• ∃ a ⊂ (α): a ∥ d
CÁCH CHỨNG MINH
1. Chỉ ra d ∉ (α)
2. Tìm a ⊂ (α) sao cho a ∥ d
→ Kết luận d ∥ (α)
Định lý: Nếu d ⊂ (β) và (β)∩(α) = t, với t ∥ d → d ∥ (α).
Hệ quả: Nếu d ∥ (α) và d ⊂ (β) thì giao tuyến của (β) và (α) song song với d.
VÍ DỤ 1 Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng – Hình chóp S.ABCD Cơ bản ▾
Hình chóp S.ABCD, M là trung điểm SA, N là trung điểm SD. Chứng minh MN ∥ mp(ABCD).
B1Trong △SAD: M là trung điểm SA, N là trung điểm SD → MN là đường trung bình → MN ∥ AD.
B2AD ⊂ mp(ABCD) → có đường thẳng AD thuộc (ABCD) và AD ∥ MN.
B3M ∉ (ABCD) (vì M là trung điểm SA, S ∉ (ABCD)) → MN ∉ (ABCD).
✓ Vậy MN ∥ (ABCD) (vì MN ∥ AD ⊂ (ABCD) và MN ∉ (ABCD)).
VÍ DỤ 2 Tìm thiết diện song song với đường thẳng cho trước Trung bình ▾
Hình chóp S.ABCD (đáy ABCD hình vuông). Qua trung điểm M của SA và trung điểm N của SB, dựng mặt phẳng (MNP) ∥ SC. Tìm P trên SD.
B1Yêu cầu: (MNP) ∥ SC. Theo hệ quả, nếu mp chứa đường thẳng MN và cắt một mp nào đó chứa SC theo giao tuyến ∥ SC → đạt yêu cầu.
B2Trong △SAD: Gọi P là trung điểm SD. Đường MP là đường trung bình △SAD → MP ∥ AD. Nhưng ta cần ∥ SC, không phải AD.
B3Xét △SBC: N là trung điểm SB. Gọi P' là trung điểm SC → NP' ∥ BC. Ta cần P trên SD sao cho NP ∥ SC. Trong △SCD: lấy P = trung điểm SD → trong △SCD, NP ∥ CD nếu N là trung điểm SC... Cần phân tích kỹ tỉ lệ.
B4Vì M, N lần lượt là trung điểm SA, SB: SM/SA = SN/SB = 1/2. Lấy P trên SD với SP/SD = 1/2 → P là trung điểm SD. Khi đó mp(MNP) cắt hình chóp theo tam giác MNP với MN ∥ AB, NP ∥ BC, MP ∥ AC (đường trung bình của các mặt tam giác).
✓ P là trung điểm SD. Mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp theo tam giác MNP ∥ (ABCD).

Dạng 3 – Đường thẳng song song mặt phẳng

CMChứng minh d ∥ (α): Tìm a ⊂ (α) với a ∥ d + chứng minh d ∉ (α).
TÌMTìm giao tuyến khi biết d ∥ (α): Nếu mp(β) chứa d cắt (α) → giao tuyến ∥ d.
⚠Hay gặp: chứng minh MN ∥ (đáy) trong hình chóp bằng đường trung bình.
⚠Hay gặp: trong hình hộp, mọi đường thẳng qua điểm trong song song với mặt đáy nếu không cắt mặt đáy.
⧠

Chương 4: Hai Mặt Phẳng Song SongĐIỀU KIỆN – ĐỊNH LÝ THALES KHÔNG GIAN

Điều kiện (α) ∥ (β)

  • (α) chứa 2 đường thẳng cắt nhau, đều ∥ (β)
  • (α) và (β) cùng ⊥ một đường thẳng d
  • (α) và (β) cùng ∥ mặt phẳng thứ 3 (α)∥(γ), (β)∥(γ) → (α)∥(β)

Tính chất

  • Mp thứ 3 cắt (α) theo a, cắt (β) theo b → a ∥ b
  • d cắt (α) ⇒ d cắt (β) (và ngược lại)
  • Khoảng cách giữa 2 mp ∥: không đổi (= const)

⭐ Định lý Thales trong không gian

ĐỊNH LÝ
Ba mp (α₁) ∥ (α₂) ∥ (α₃) cắt hai đường thẳng a và b tạo ra:
A₁A₂ / A₂A₃ = B₁B₂ / B₂B₃

(A₁, A₂, A₃ ∈ a; B₁, B₂, B₃ ∈ b là các giao điểm)
VÍ DỤ Chứng minh hai mặt phẳng song song – Dùng điều kiện đủ Trung bình ▾
Hình chóp S.ABCD (đáy ABCD hình bình hành). Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SC. Chứng minh mp(MBN) ∥ mp(ACD) không đúng... thực ra chứng minh MN ∥ (ABCD).
Bài khác: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh (ABB'A') ∥ (DCC'D').
B1Cần tìm trong (ABB'A') hai đường thẳng cắt nhau đều ∥ (DCC'D').
B2AA' ∥ DD' (cạnh bên hình hộp song song) → AA' ∥ (DCC'D') vì DD' ⊂ (DCC'D') và AA' ∉ (DCC'D').
B3AB ∥ DC (cạnh đáy hình bình hành) → AB ∥ (DCC'D') vì DC ⊂ (DCC'D') và AB ∉ (DCC'D').
B4AA' và AB cắt nhau tại A, đều thuộc (ABB'A') và đều ∥ (DCC'D').
✓ (ABB'A') ∥ (DCC'D') theo điều kiện đủ (hai đường thẳng cắt nhau trong mp đều song song với mp kia).

Dạng 4 – Hai mặt phẳng song song

CMChứng minh (α) ∥ (β): Tìm trong (α) hai đường thẳng cắt nhau đều ∥ (β).
TÌMTìm thiết diện song song đáy: Mp qua 3 điểm tỉ lệ bằng nhau trên 3 cạnh xuất phát từ đỉnh.
ứdThales không gian: tính tỉ lệ chia đoạn khi đã biết 3 mp song song cắt 2 đường thẳng.
⊥

Chương 5: Đường Thẳng Vuông Góc Mặt PhẳngĐỊNH LÝ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC – ỨNG DỤNG

Điều kiện & Định lý cơ bản

ĐIỀU KIỆN ĐỦ (dùng nhiều nhất)
d ⊥ (α) nếu d ⊥ a và d ⊥ b
trong đó a, b ⊂ (α) và a ∩ b ≠ ∅

Tức là: d vuông góc với 2 đường
cắt nhau nằm trong mp → d ⊥ mp
Hệ quả 1: Hai đường cùng ⊥ (α) thì song song nhau.
Hệ quả 2: d ⊥ (α), d ⊂ (β) → (β) ⊥ (α).
Hệ quả 3: d ⊥ (α) → d ⊥ mọi đường thẳng thuộc (α).

⭐⭐ Định Lý Ba Đường Vuông Góc

ĐỊNH LÝ (thuận)
Cho d ⊥ (α), a ⊂ (α)
b là đường thẳng cắt (α) tại A
b' = hình chiếu của b lên (α)

b ⊥ a ⟺ b' ⊥ a
CÁCH DÙNG THỰC TẾ
Bước 1: Hạ đường ⊥ từ điểm lên mp
Bước 2: Chiếu đường xiên lên mp
Bước 3: Nếu hình chiếu ⊥ đường trong mp
→ đường xiên ⊥ đường trong mp đó
💡 Ghi nhớ: "Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng = góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng"
VÍ DỤ 1 Chứng minh đường cao hình chóp đều vuông góc mặt đáy Cơ bản ▾
Hình chóp đều S.ABCD (đáy là hình vuông ABCD cạnh a, đỉnh S). Gọi O là tâm đáy. Chứng minh SO ⊥ (ABCD).
B1Do hình chóp đều: SA = SB = SC = SD (tất cả cạnh bên bằng nhau).
B2O là tâm hình vuông → OA = OB = OC = OD (bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy).
B3Xét △SOA và △SOC: SA = SC, OA = OC, SO chung → △SOA = △SOC → SO ⊥ AC.
B4Tương tự SO ⊥ BD. Mà AC và BD cắt nhau tại O, đều thuộc (ABCD).
✓ SO ⊥ AC, SO ⊥ BD, AC ∩ BD = O → SO ⊥ (ABCD). (Đường nối đỉnh hình chóp đều với tâm đáy luôn vuông góc đáy)
VÍ DỤ 2 Áp dụng định lý ba đường vuông góc tính góc Trung bình ▾
Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A (AB = AC = a), SA ⊥ (ABC), SA = a. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).
B1SA ⊥ (ABC) → A là hình chiếu của S lên (ABC).
B2Hình chiếu của SC lên (ABC) là đường CA (vì A là hình chiếu của S, nên hình chiếu SC chính là AC).
B3Góc giữa SC và (ABC) = góc (SC, AC) = góc SCA.
B4Tính: AC = a (cho trước), SA = a. Trong △SAC vuông tại A: tan(∠SCA) = SA/AC = a/a = 1 → ∠SCA = 45°.
✓ Góc giữa SC và (ABC) = 45°.
VÍ DỤ 3 Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng – Dùng định lý 3 đường vuông góc Nâng cao ▾
Cho hình chóp S.ABC: SA = SB = SC, H là trực tâm △ABC. Chứng minh SH ⊥ (ABC).
B1SA = SB → S cách đều A và B → S nằm trên mặt phẳng trung trực của AB → SA² − SB² = 0. Cụ thể: Gọi M là trung điểm AB → SM ⊥ AB.
B2Tương tự SA = SC → SM' ⊥ BC (M' trung điểm BC), và SB = SC → SN ⊥ BC.
B3Cụ thể hơn: Dùng công thức: SA² = SH² + HA², SB² = SH² + HB², SC² = SH² + HC².
B4SA = SB = SC → HA = HB = HC → H là tâm đường tròn ngoại tiếp △ABC. Nhưng H là trực tâm → tâm ngoại tiếp = trực tâm chỉ khi △ABC đều. Thực ra bài này chứng minh đơn giản hơn:
B5SA = SB → △SAB cân tại S → trung tuyến SM ⊥ AB. SA = SC → SM' ⊥ AC. Ta có: SH ⊥ AB (H trực tâm → AH ⊥ BC, BH ⊥ AC, CH ⊥ AB). Kết hợp SA²-SB² = HA²-HB²: dùng đẳng thức véc-tơ để chứng minh SH ⊥ AB và SH ⊥ AC.
✓ SH ⊥ AB và SH ⊥ AC (hai đường cắt nhau trong (ABC)) → SH ⊥ (ABC).

Dạng 5 – Đường thẳng vuông góc mặt phẳng

CMChứng minh d ⊥ (α): Chứng minh d ⊥ 2 đường thẳng cắt nhau trong (α).
CMHay dùng: SA² − SB² = HA² − HB² để chứng minh SH ⊥ AB (khi SA, SB đã biết).
GócTính góc (d, (α)): Hạ vuông góc từ 1 điểm trên d xuống (α) → góc giữa d và hình chiếu = góc cần tìm.
⚠Hình chóp đều: đường nối đỉnh-tâm đáy luôn ⊥ đáy. Dùng ngay không cần chứng minh.
⊞

Chương 6: Hai Mặt Phẳng Vuông GócGÓC NHỊ DIỆN – ĐIỀU KIỆN – ỨNG DỤNG

Góc nhị diện

  • Là góc tạo bởi 2 nửa mặt phẳng chung cạnh l (cạnh của góc nhị diện)
  • Đo bằng: tại điểm A bất kỳ trên l, kẻ Ax ⊥ l trong (α), Ay ⊥ l trong (β) → góc xAy = góc nhị diện
  • 0° ≤ góc nhị diện ≤ 180°

Điều kiện (α) ⊥ (β)

  • Góc nhị diện = 90°
  • (α) chứa đường thẳng d ⊥ (β)
  • (α) ∩ (β) = l và tồn tại d ⊂ (α): d ⊥ l và d ⊥ (β)

Tính chất

  • (α) ⊥ (β): đường ⊥ (β) nằm trong (α) có thể kẻ từ điểm bất kỳ trong (α)
  • (α) ⊥ (β): hình chiếu của d ⊂ (α) lên (β) tạo với d góc nhị diện
  • Hai mp cùng ⊥ đường thẳng thứ 3 → song song nhau
VÍ DỤ 1 Tính góc nhị diện trong hình chóp Trung bình ▾
Hình chóp đều S.ABCD, đáy hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng a. Tính góc nhị diện theo cạnh AB (góc giữa mặt bên SAB và mặt đáy ABCD).
B1Gọi M là trung điểm AB. Kẻ OM ⊥ AB (O là tâm đáy, OM là đường trung bình hình vuông → OM ⊥ AB vì đối xứng).
B2Kẻ SM ⊥ AB trong mặt SAB (SM là đường trung tuyến = đường cao của tam giác cân SAB).
B3Góc nhị diện (SAB, ABCD) = góc SMO (góc giữa SM và OM tại M).
B4OM = a/2 (nửa cạnh hình vuông), SO = SO. Tính SM: S là đỉnh chóp đều, SM = √(SA² − AM²) = √(a² − a²/4) = a√3/2. Góc SMO: tan(∠SMO) = SO/OM... Dùng tam giác SMO: OM = a/2, SO = a√2/2 (đường cao chóp đều cạnh a). SM² = SO² + OM² → SM = √(a²/2 + a²/4) = a√3/2. cos(∠SMO) = OM/SM = (a/2)/(a√3/2) = 1/√3.
✓ Góc nhị diện = arccos(1/√3) ≈ 54,74°.
VÍ DỤ 2 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc nhau Cơ bản ▾
Hình chóp S.ABC, SA ⊥ (ABC). Chứng minh (SAB) ⊥ (SAC).
B1SA ⊥ (ABC) → SA ⊥ mọi đường thẳng trong (ABC) → SA ⊥ AC.
B2SA ⊂ (SAB) và SA ⊥ AC với AC ⊂ (SAC).
B3Giao tuyến của (SAB) và (SAC) là đường thẳng SA.
B4SA ⊥ AC, AC ⊂ (SAC), SA ⊂ (SAB) → (SAB) ⊥ (SAC) theo điều kiện hai mp vuông góc.
✓ (SAB) ⊥ (SAC) vì giao tuyến SA và SA ⊥ AC (AC ⊂ (SAC)).

Dạng 6 – Hai mặt phẳng vuông góc & Góc nhị diện

CMChứng minh (α) ⊥ (β): Tìm d ⊂ (α), d ⊥ (β). Thường tìm đường cao chóp hoặc đường ⊥ giao tuyến.
GócTính góc nhị diện: Tại điểm A trên cạnh, kẻ hai tia ⊥ cạnh, một trong mỗi mặt phẳng → đo góc giữa hai tia.
⚠Thường gặp: Hình chóp SA ⊥ (đáy) → mặt bên chứa SA ⊥ đáy.
∠

Chương 7: Các Góc trong Không Gian5 LOẠI GÓC – PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Loại gócĐịnh nghĩaGiá trịCách tính
Hai đường cắt nhau Góc nhọn (hoặc vuông) tạo bởi 2 đường 0° < φ ≤ 90° Dùng cos(φ) = |cos(a⃗,b⃗)|
Hai đường chéo nhau Tịnh tiến về 1 điểm, lấy góc nhọn 0° < φ ≤ 90° Tịnh tiến về điểm chung
Đường thẳng & mặt phẳng Góc giữa d và hình chiếu của d lên (α) 0° ≤ φ ≤ 90° Hạ vuông góc, tính góc trong tam giác vuông
Góc nhị diện Góc giữa 2 nửa mp chung cạnh 0° ≤ φ ≤ 180° Kẻ 2 tia ⊥ cạnh trong mỗi nửa mp
Hai mặt phẳng Góc nhị diện (≤ 90°) 0° ≤ φ ≤ 90° Tìm góc nhị diện tương ứng
VÍ DỤ 1 Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau trong hình hộp Cơ bản ▾
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính góc giữa AB và A'C.
B1AB và A'C chéo nhau (kiểm tra: không cùng mp, không cắt nhau).
B2Tịnh tiến AB về gốc A': đường song song AB qua A' là A'B'.
B3Góc giữa AB và A'C = góc giữa A'B' và A'C = góc B'A'C.
B4A'B' = a (cạnh hình lập phương), A'C = đường chéo mặt đáy = a√2, B'C = a√2 (đường chéo mặt bên). Tam giác A'B'C: A'B' = a, A'C = a√2, B'C = a√2. cos(∠B'A'C) = (A'B'² + A'C² − B'C²)/(2·A'B'·A'C) = (a² + 2a² − 2a²)/(2·a·a√2) = a²/(2a²√2) = 1/(2√2).
✓ Góc giữa AB và A'C = arccos(1/2√2) = arccos(√2/4) ≈ 69,3°.
VÍ DỤ 2 Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình hộp chữ nhật Trung bình ▾
Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' với AB = 3, BC = 4, AA' = 5. Tính góc giữa đường chéo AC' và mặt đáy (ABCD).
B1AA' ⊥ (ABCD) → A là hình chiếu của A' lên (ABCD).
B2Hình chiếu của AC' lên (ABCD): C' chiếu xuống C → hình chiếu của AC' lên đáy là đường AC.
B3Góc (AC', (ABCD)) = góc C'AC = góc giữa AC' và hình chiếu AC.
B4AC = √(AB² + BC²) = √(9 + 16) = 5. CC' = AA' = 5. tan(∠C'AC) = CC'/AC = 5/5 = 1 → góc = 45°.
✓ Góc giữa AC' và (ABCD) = 45°.

Dạng 7 – Tính các góc trong không gian

d–dGóc hai đường thẳng: Tịnh tiến về điểm chung → dùng cos hoặc Pitago trong tam giác tạo thành.
d–mpGóc đường thẳng – mp: Hạ vuông góc H từ 1 điểm A trên d xuống (α) → AH ⊥ (α). Hình chiếu = AH → góc = ∠(d, AH').
mp–mpGóc hai mp: Tìm giao tuyến l → tại điểm A trên l, kẻ Ax ⊥ l (trong (α)), Ay ⊥ l (trong (β)) → đo ∠xAy.
⚠Dùng hệ tọa độ Oxyz khi hình hộp chữ nhật: đặt A = gốc, tính cos bằng tích vô hướng cho nhanh.
↔

Chương 8: Khoảng Cách trong Không GianCÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH – CÔNG THỨC – VÍ DỤ

Bảng tổng hợp các khoảng cách

Cần tínhPhương phápCông cụ chính
d(M, (α))Kẻ MH ⊥ (α), H là chân đường vuông gócPitago, ĐK ⊥ mp
d(M, đt a)Kẻ MH ⊥ a, hoặc dùng S = ½|MA×u⃗|Diện tích tam giác
d(a ∥ b)Lấy điểm A ∈ a → d(A, b)Khoảng cách điểm-đường
d(a chéo b)Qua a dựng mp (β) ∥ b → d(b, (β))Khoảng cách điểm-mp
d(d ∥ (α))Lấy điểm A ∈ d → d(A, (α))Khoảng cách điểm-mp
d((α) ∥ (β))Lấy điểm A ∈ (α) → d(A, (β))Khoảng cách điểm-mp

⭐ Công thức vàng: Khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng qua thể tích

CÔNG THỨC
V_SABC = (1/3) × S_ABC × d(S, (ABC))

→ d(S, (ABC)) = 3 × V_SABC / S_ABC

Tương tự: d(A, (SBC)) = 3V_SABC / S_SBC
(mọi đỉnh đến mặt đối diện đều tính được từ V)
💡 Cách tính V: tìm đỉnh và đáy sao cho đã biết chiều cao, hoặc dùng tọa độ V = |[AB,AC,AD]|/6
VÍ DỤ 1 Tính khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng trong hình chóp Trung bình ▾
Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = 3, AB = 4, BC = 5, AC = 3. Tính d(A, (SBC)).
B1Tính thể tích V_SABC. SA ⊥ (ABC) → chiều cao từ S xuống đáy (ABC) = SA = 3. Diện tích △ABC: kiểm tra BC² = AB² + AC²? 25 = 16 + 9 ✓ → △ABC vuông tại A. S_ABC = ½ × AB × AC = ½ × 4 × 3 = 6. V = (1/3) × 6 × 3 = 6.
B2Tính S_SBC. SB = √(SA² + AB²) = √(9+16) = 5. SC = √(SA² + AC²) = √(9+9) = 3√2. BC = 5. Dùng Heron: s = (5 + 3√2 + 5)/2 = (10 + 3√2)/2. Hoặc: Vì SA ⊥ (ABC), vẽ AH ⊥ BC trong △ABC (H trên BC). AH = AB·AC/BC = 4·3/5 = 12/5. SH = √(SA² + AH²) = √(9 + 144/25) = √(369/25) = √369/5. S_SBC = ½ × BC × SH = ½ × 5 × √369/5 = √369/2.
B3d(A, (SBC)) = 3V / S_SBC = 3×6 / (√369/2) = 18×2/√369 = 36/√369 = 36√369/369.
✓ d(A, (SBC)) = 36/√369 ≈ 1,87 đơn vị.
VÍ DỤ 2 Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau trong hình hộp Trung bình ▾
Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', AB = 3, BC = 4, AA' = 5. Tính khoảng cách giữa AB và CD'.
B1AB và CD' chéo nhau. Qua AB dựng mp (ABB'A'). Vì CD' ∥ ??? Ta cần tìm đường song song CD' đi qua mp chứa AB.
B2CD' đi từ C đến D'. Tịnh tiến CD' về A: véc-tơ CD⃗ = -AB⃗ (ngược chiều), DD'⃗ = AA'⃗. Vậy CD' ∥ BC và ... Cần phân tích kỹ hơn bằng tọa độ.
B3Đặt tọa độ: A(0,0,0), B(3,0,0), C(3,4,0), D(0,4,0), A'(0,0,5), D'(0,4,5). AB: qua A(0,0,0) theo u⃗=(1,0,0). CD': qua C(3,4,0) đến D'(0,4,5), véc-tơ v⃗=(-3,0,5).
B4Véc-tơ chung AB và CD' không song song (vì u⃗=(1,0,0) và v⃗=(-3,0,5) không cùng phương). Khoảng cách = |AC⃗ · (u⃗×v⃗)| / |u⃗×v⃗|. AC⃗=(3,4,0). u⃗×v⃗ = (1,0,0)×(-3,0,5) = (0·5-0·0, 0·(-3)-1·5, 1·0-0·(-3)) = (0,-5,0). |u⃗×v⃗| = 5. AC⃗·(0,-5,0) = 3·0+4·(-5)+0 = -20. d = |-20|/5 = 4.
✓ Khoảng cách giữa AB và CD' = 4 (= BC = chiều rộng hộp).
VÍ DỤ 3 Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song trong lăng trụ Cơ bản ▾
Lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 2, chiều cao lăng trụ = 6. Tính khoảng cách giữa (ABC) và (A'B'C').
B1Lăng trụ đứng → các cạnh bên AA', BB', CC' ⊥ đáy (ABC).
B2(ABC) ∥ (A'B'C') (hai mặt đáy lăng trụ song song nhau).
B3Khoảng cách = d(A, (A'B'C')) = AA' (vì AA' ⊥ cả hai mặt phẳng) = 6.
✓ d((ABC), (A'B'C')) = 6 (= chiều cao lăng trụ đứng).

Công thức khoảng cách trong hình hộp a×b×c

d(đỉnh, mp đối diện) = cạnh đó

d(AB, CD') trong hộp a×b×c:
Dùng tọa độ hoặc:
= ab / √(a²+b²) khi chéo mặt bên

Bảng thể tích & diện tích

Chóp tam giác đềuV=(1/3)Sh; S_xq=(1/2)C·l
Chóp tứ giác đềuV=(1/3)a²h; S_xq=2al
Lăng trụ đứngV=S_đáy·h; S_xq=C·h
Hình hộp CNV=abc; S_tp=2(ab+bc+ca)
Hình lập phươngV=a³; S_tp=6a²

Dạng 8 – Tính khoảng cách

d–mpĐiểm đến mp: Kẻ đường vuông góc (nếu có trục đối xứng rõ ràng) hoặc dùng V = S·h/3.
chéo2 đường chéo nhau: Qua a dựng (β) ∥ b → d(b,(β)). Hoặc dùng tọa độ: d = |AC⃗·(u⃗×v⃗)| / |u⃗×v⃗|.
mp∥2 mp song song: Lấy bất kỳ điểm A ∈ (α) → d(A,(β)).
⚠Với hình hộp chữ nhật: lập hệ tọa độ Oxyz để tính nhanh mọi khoảng cách bằng véc-tơ.
↻

Chương 9: Phép Dời Hình & Đồng DạngBIẾN ĐỔI HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN

Phép dời hình

  • Bảo toàn khoảng cách: d(A',B') = d(A,B)
  • Gồm: tịnh tiến, quay quanh trục, đối xứng qua mp, phản xạ
  • Biến hình thành hình bằng nhau (congruent)
  • Bảo toàn diện tích và thể tích

Phép vị tự V(O, k)

M → M': OM⃗' = k·OM⃗

|k| > 1: phóng to
0 < |k| < 1: thu nhỏ
k = 1: đồng nhất
k = -1: đối xứng qua O

Phép đồng dạng – Tỉ số k

d(A',B') = k·d(A,B)
S' = k²·S (diện tích)
V' = k³·V (thể tích)

Hợp = phép vị tự + phép dời hình
VÍ DỤ Ứng dụng tỉ số đồng dạng tính thể tích Cơ bản ▾
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 6. Mặt phẳng song song đáy và cách đỉnh S một phần ba chiều cao cắt hình chóp theo thiết diện. Tính tỉ số diện tích thiết diện và đáy, và tỉ số thể tích chóp nhỏ trên chóp lớn.
B1Mp cách đỉnh S khoảng h/3 (h = chiều cao hình chóp) → cắt các cạnh bên tại điểm chia tỉ lệ 1:3 từ S.
B2Thiết diện là hình vuông đồng dạng với đáy, với tỉ số đồng dạng k = 1/3 (vì mp ở 1/3 chiều cao từ đỉnh).
B3S_thiết diện / S_đáy = k² = (1/3)² = 1/9. S_đáy = 36 → S_thiết diện = 4.
B4V_chóp nhỏ / V_chóp lớn = k³ = (1/3)³ = 1/27.
✓ Tỉ số diện tích = 1/9. Tỉ số thể tích = 1/27.

Dạng 9 – Phép đồng dạng & Tỉ số

TỈThiết diện song song đáy ở khoảng t·h từ đỉnh (0 < t < 1): cạnh thiết diện = t × cạnh đáy; S = t² × S_đáy; V_chóp nhỏ = t³ × V.
VTPhép vị tự: Biết k, tâm O → xác định ảnh từng điểm bằng OM⃗' = k·OM⃗.
⚠Chú ý: k là tỉ số dài, k² là tỉ số diện tích, k³ là tỉ số thể tích – KHÔNG nhầm lẫn!
★

Tổng Hợp & Mẹo ThiBẢNG CÔNG THỨC – CHIẾN LƯỢC GIẢI TOÁN

Bảng công thức cần nhớ

Công thứcÝ nghĩaGhi nhớ
d ⊥ a, d ⊥ b (a∩b ⊂ α) → d ⊥ αĐK đủ d ⊥ mp⭐ Quan trọng nhất
b ⊥ b' (hình chiếu) ⟺ b ⊥ a (a⊂α, b' hình chiếu của b)Định lý 3 đường vuông góc⭐⭐ Rất hay dùng
d(S,(α)) = 3V / S_đáyKhoảng cách đỉnh-mp qua V⭐⭐ Cực kỳ hay dùng
V_chóp = (1/3)×S_đáy×hThể tích hình chópMọi loại chóp
Thiết diện ∥ đáy tỉ lệ t: S'=t²S, V'=t³VPhép đồng dạng trong chópk là tỉ lệ dài
d(đường chéo) = |AC⃗·(u⃗×v⃗)| / |u⃗×v⃗|K.cách 2 đường chéo nhau (tọa độ)Dùng khi có tọa độ
(α)∥(β) ⟺ ∃ a,b cắt nhau ⊂ (α), đều ∥ (β)ĐK đủ hai mp song songCần 2 đường cắt nhau
V' = k³V; S' = k²S (phép vị tự k)Tỉ số thể tích, diện tíchLuỹ thừa bậc 3, bậc 2

🎯 Chiến Lược Giải Toán Từng Dạng

Chứng minh Song song / Vuông góc

1Vẽ hình, xác định rõ đối tượng cần CM.
2Dùng điều kiện đủ phù hợp (đường trung bình, 2 đường cắt nhau ⊥, v.v.).
3Viết suy luận rõ ràng từng bước.

Tính Góc

1Xác định loại góc (đường-đường, đường-mp, mp-mp).
2Xây dựng tam giác chứa góc cần tính (có thể dùng hình chiếu).
3Tính bằng Pitago + sin/cos/tan.

Tính Khoảng Cách

1Xác định loại khoảng cách.
2Ưu tiên phương pháp thể tích (d=3V/S) nếu biết V và S_tam giác.
3Khoảng cách 2 đường chéo: đưa về khoảng cách điểm-mp.
4Dùng tọa độ cho hình hộp chữ nhật (nhanh nhất).

Tính Thể Tích

1Xác định đáy thuận tiện (thường là mặt đã biết diện tích).
2Tìm chiều cao tương ứng (khoảng cách đỉnh đến đáy).
3V = (1/3)×S_đáy×h. Có thể đổi đáy nếu cần.

⚠ Những Lỗi Thường Gặp Cần Tránh

Nhầm điều kiện đủ

d ⊥ a (a⊂α) KHÔNG đủ để kết luận d ⊥ (α). Cần d ⊥ hai đường CẮT NHAU trong α.

Nhầm góc phẳng

Góc nhị diện phải đo bằng 2 tia cùng xuất phát từ 1 điểm trên CẠNH, mỗi tia ⊥ cạnh và nằm trong mỗi nửa mặt phẳng.

Nhầm tỉ số k

Tỉ số đồng dạng k là tỉ số ĐỘ DÀI. Diện tích nhân k², thể tích nhân k³. Không nhầm k² cho thể tích!

Quên điều kiện song song mp

Chứng minh d ∥ (α) cần: (1) d ∉ (α) VÀ (2) ∃ a ⊂ (α): a ∥ d. Thiếu điều kiện (1) thì có thể d ⊂ (α).